IX. Приведение дроби к общему знаменателю. Сравнение дробей (6 класс)
Сегодня узнаем, что такое наименьший общий знаменатель двух дробей. Научимся приводить дроби к общему знаменателю, сравнивать дроби с разными знаменателями.
Содержание урока
Вспомним пройденное
Правило приведения дробей к общему знаменателю
Приводим две дроби к общему знаменателю
Тренажер «Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю»
Правило сравнения дробей
Сравниваем дроби
Тренажер «Сравните дроби»
Видеоурок «Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей»
Сборник задач от СлонУма
Вспомним пройденное
- Дробь
— одна или несколько частей целого. Дроби записывают двумя натуральными числами, разделенными чертой:
a|b
- Знаменатель дроби
— число, записанное под чертой, показывающее, на сколько равных частей разделили целое.
- Числитель дроби
— число, записанное над чертой, показывающее, сколько таких частей взяли.
- Правильная дробь
— дробь, в которой числитель меньше знаменателя.
- Неправильная дробь
— дробь, в которой числитель равен или больше знаменателя.
- Взаимно обратные дроби
— две дроби, обладающие тем свойством, что числитель первой является знаменателем второй, а знаменатель первой является числителем второй.
- Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями
, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним:
a|c
+
b|c
=
a+b|c
- Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями
, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним:
a|c
-
b|c
=
a-b|c
- Дробь — это деление
числителя на знаменатель, а деление – это та же самая дробь, где числителем будет делимое, а знаменателем – делитель:
a
:
b
=
a|b
или
a|b
=
a
:
b
- Смешанное число
— число, содержащее целую и дробную часть.
- Чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного числа
, нужно: 1) числитель разделить на знаменатель с остатком; 2) частное от деления записать в целую часть, остаток от деления — в числитель дробной части, а знаменатель дробной части оставить тем же.
- Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби
, нужно: 1) целую часть умножить на знаменатель дробной, прибавить к ней числитель дробной часть и сумму записать в числитель получившейся неправильной дроби; 2) знаменатель оставить тем же.
- Чтобы сложить два смешанных числа
, нужно отдельно сложить их целые и дробные части; если дробная часть оказалась неправильной дробью, то есть больше 1, то выделить в ней целую часть и прибавить ее к целой части, полученной на предыдущем шаге.
- Чтобы найти разность двух смешанных чисел
, нужно: из целой части уменьшаемого вычесть целую часть вычитаемого, из дробной части уменьшаемого вычесть дробную часть вычитаемого; если дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого, то занимаем одну единицу от целой части уменьшаемого и представляем ее в виде дроби.
- Основное свойство дроби
: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь:
a|b
=
a∙c|b∙c
или
a|b
=
a:c|b:c
- Сократить дробь
— значит разделить числитель и знаменатель на их общий делитель, отличный от 1.
- Несократимая дробь
— дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме 1, то есть являются взаимно простыми числами.
- Чтобы сократить дробь до несократимой
, надо разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.
Правило приведения дробей к общему знаменателю
Дроби
5|6
и
5|8
имеют разные знаменатели.
Но если числитель и знаменатель первой умножить на 8, а числитель и знаменатель второй умножить на 6, то получатся дроби равные данным, с новыми знаменателями:
5|6
=
5∙8|6∙8
=
40|48
5|8
=
5∙6|8∙6
=
30|48
В примере выше <b>мы привели дроби к общему знаменателю 48.</b>
Числа 8 и 6, на которые умножали числители и знаменатели дробей, называются <b>дополнительными множителями</b>. Но данные дроби можно привести и к другому общему знаменателю, умножив их числители и знаменатели на другие дополнительные множители:
5|6
=
10|12
=
15|18
=
20|24
=
25|30
=
30|36
=
35|42
=
40|48
=
45|54
=
50|60
=
55|66
=
60|72
=
65|78
5|8
=
10|16
=
15|24
=
20|32
=
25|40
=
30|48
=
35|56
=
40|64
=
45|72
=
50|80
Чтобы получить
20|24
и
15|24
, используем дополнительные множители 4 и 3 соответственно.
Чтобы получить
60|72
и
45|72
, используем дополнительные множители 12 и 9 соответственно.
Ведь 24, 48, 72 — это общие кратные для 6 и 8.
Правило!
Общий знаменатель двух дробей — это общее кратное их знаменателей. То есть, число, которое делится и на один знаменатель, и на второй.
Правило!
Чтобы привести две дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:
· найти наименьшее общее кратное их знаменателей, то есть наименьший общий знаменатель;
· найти дополнительный множитель для каждой дроби, разделив наименьший общий знаменатель на знаменатель данной дроби;
· числитель и знаменатель каждой дроби умножить на соответствующий дополнительный множитель.
В нашем примере наименьшим общим кратным (НОК) для 6 и 8 будет 24:
6=2∙3;
8=2∙2∙2;
НОК(6,8)=2∙2∙2∙3=24.
Значит, и наименьшим общим знаменателем для дробей
5|6
и
5|8
будет 24 .
Приводим две дроби к общему знаменателю
Пример 1.
Привести дроби
3|7
и
5|8
к общему знаменателю.
Так как число 7 — простое, НОК(7,8)=7∙8=56.
Дополнительный множитель для дроби
3|7
будет 56:7=8
3|7
=
3∙8|7∙8
=
24|56
Дополнительный множитель для дроби
5|8
будет 56:8=7
5|8
=
5∙7|8∙7
=
35|56
Пример 2.
Привести дроби
15|18
и
3|45
к общему знаменателю
Разложим числа 18 и 45 на простые множители и найдем НОК для этих чисел:
18=2∙3∙3
45=3∙3∙5
НОК(18, 45)=2∙3∙3∙5=90
Дополнительный множитель для дроби
15|18
будет: 90:18=5
15|18
=
15∙5|18∙5
=
75|90
Дополнительный множитель для дроби
3|45
будет: 90:45=2
3|45
=
3∙2|45∙2
=
6|90
Ваша очередь!
Пример 3.
Привести дроби
7|20
и
17|40
к общему знаменателю
Решение:
Так как 40 делится на 20 нацело, то наименьшим общим кратным для чисел 20 и 40 будет 40.
Дополнительный множитель для дроби
7|20
будет: 40:20=2
7|20
=
7∙2|20∙2
=
14|40
Продолжайте заниматься с тренажером
Тренажер
Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю
Правило сравнения дробей
Правило!
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем сравнить их как дроби с одинаковыми знаменателями.
Например, сравним дроби
5|12
и
7|18
.
По правилу сначала приведем их к общему знаменателю:
12=2∙2∙3
18=2∙3∙3
НОК(12, 18)=2∙2∙3∙3=36
Дополнительный множитель для дроби
5|12
будет: 36:12=3.
5|12
=
5∙3|12∙3
=
15|36
Дополнительный множитель для дроби
7|18
будет: 36:18=2
7|18
=
7∙2|18∙2
=
14|36
Теперь данные дроби можно легко сравнить:
15|36
>
14|36
,
а значит
5|12
>
7|18
.
Разберем задачу
Задача 1.
Для украшения платья ушло
7|10
метра декоративной ленты, а для украшения блузки —
5|8
метра . На какое изделие ушло больше декоративной ленты?
Решение:
Приведем дроби
7|10
и
5|8
к общему знаменателю:
10=2∙5
8=2∙2∙2
НОК(10, 8)=2∙5∙2∙2=40
7|10
=
7∙4|10∙4
=
28|40
5|8
=
5∙5|8∙5
=
25|40
Теперь сравним:
28|40
>
25|40,
а значит
7|10
>
5|8
.
Сравниваем дроби
Пример 4.
Сравнить дроби
5|13
и
2|5
Решение:
13 и 5 — простые числа, а значит, наименьшим общим кратным для них будет их произведение:
13∙5=65
Дополнительный множитель для дроби
5|13
будет 5:
5|13
=
5∙5|13∙5
=
25|65
Дополнительный множитель для дроби
2|5
будет 13:
2|5
=
2∙13|5∙13
=
26|65
Теперь сравним:
25|65
<
26|65
,
а значит,
5|13
<
2|5
.
Пример 5.
Сравнить дроби
6|14
и
29|63
Решение:
Найдем наименьшее общее кратное для чисел 14 и 63:
14=2∙7 ; 63=3∙3∙7
Наименьшее общее кратное 14 и 63 будет 2∙7∙3∙3=126
Дополнительный множитель для дроби
6|14
будет 126:14=9
6|14
=
6∙9|14∙9
=
54|126
Дополнительный множитель для дроби
29|63
будет 126:63=2
29|63
=
29∙2|63∙2
=
58|126
Теперь сравниваем:
54|126
<
58|126
,
а значит
6|14
<
29|63
.
Пример 6.
Сравнить дроби
29|35
и
4|5
Решение:
Наименьшее общее кратное для чисел 35 и 5 будет 35, так как 35 делится на 5 нацело Значит к общему знаменателю надо приводить только вторую дробь. Дополнительный множитель для нее будет 35:5=7
4|5
=
4∙7|5∙7
=
28|35
Теперь сравниваем:
29|35
>
28|35,
а значит,
29|35
>
4|5
.
Так держать! Продолжайте тренироваться онлайн
Тренажер
Сравните дроби
Видеоурок «Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей»
Нет времени читать урок? Хотите закрепить материал дополнительно? Ребенку больше нравится, когда тему объясняют вслух? Включите видео!
Показываем, как приводить дроби к общему знаменателю, подробно объясняем, как сравнивать дроби с разными знаменателями. Разбираем примеры, даем упражнения на закрепление.
Скачайте задачи по теме в PDF
Хочется меньше синих мониторов? Для дополнительной практики дома используйте наш сборник примеров и задач по дробям. Разборы заданий с ответами уже внутри.
Хотите порешать примеры на листочке? Мы подготовили их в формате PDF
Не забывайте: на сайте множество классных тренажеров, которые облегчат изучение математики, русского и английского.
Сообщество
инициативных родителей
Присоединяйтесь к нашему сообществу — тут мы пишем новости
и интересности в сфере образования, а также делимся идеями
и появлением новых разделов на сайте. А еще с упоением читаем
ваши комментарии. 🧡
Если вам нравится СлонУм, пожалуйста, поддержите нас — так вы ускорите разработку новых тренажеров и разделов 🚀
