XIII. Деление дробей (математика, 6 класс)
Как делить дробь на натуральное число? А как делить смешанное число на смешанное? Все случаи деления с дробями и смешанными числами рассмотрим в этом уроке и закрепим, решая примеры.
Содержание урока
Вспомним пройденное
Как разделить дробь на дробь
Делим дробь на дробь
Учимся делить натуральное число на дробь и дробь на натуральное число
Делим натуральное число на дробь, дробь на натуральное число
Учимся делить со смешанными числами
Делим смешанное число и на смешанное число
Тренажер «Выполните деление»
Видеоурок «Деление дробей»
Сборник задач от СлонУма
Вспомним пройденное
- Дробь
— одна или несколько частей целого. Дроби записывают двумя натуральными числами, разделенными чертой:
a|b
- Знаменатель дроби
— число, записанное под чертой, показывающее, на сколько равных частей разделили целое.
- Числитель дроби
— число, записанное над чертой, показывающее, сколько таких частей взяли.
- Правильная дробь
— дробь, в которой числитель меньше знаменателя.
- Неправильная дробь
— дробь, в которой числитель равен или больше знаменателя.
- Взаимно обратные дроби
— две дроби, обладающие тем свойством, что числитель первой является знаменателем второй, а знаменатель первой является числителем второй.
- Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями
, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним:
a|c
+
b|c
=
a+b|c
- Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями
, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним:
a|c
-
b|c
=
a-b|c
- Дробь — это деление
числителя на знаменатель, а деление – это та же самая дробь, где числителем будет делимое, а знаменателем – делитель:
a
:
b
=
a|b
или
a|b
=
a
:
b
- Смешанное число
— число, содержащее целую и дробную часть.
- Чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного числа
, нужно: 1) числитель разделить на знаменатель с остатком; 2) частное от деления записать в целую часть, остаток от деления — в числитель дробной части, а знаменатель дробной части оставить тем же.
- Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби
, нужно: 1) целую часть умножить на знаменатель дробной, прибавить к ней числитель дробной часть и сумму записать в числитель получившейся неправильной дроби; 2) знаменатель оставить тем же.
- Чтобы сложить два смешанных числа
, нужно отдельно сложить их целые и дробные части; если дробная часть оказалась неправильной дробью, то есть больше 1, то выделить в ней целую часть и прибавить ее к целой части, полученной на предыдущем шаге.
- Чтобы найти разность двух смешанных чисел
, нужно: из целой части уменьшаемого вычесть целую часть вычитаемого, из дробной части уменьшаемого вычесть дробную часть вычитаемого; если дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого, то занимаем одну единицу от целой части уменьшаемого и представляем ее в виде дроби.
- Основное свойство дроби
: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь:
a|b
=
a∙c|b∙c
или
a|b
=
a:c|b:c
- Сократить дробь
— значит разделить числитель и знаменатель на их общий делитель, отличный от 1.
- Несократимая дробь
— дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме 1, то есть являются взаимно простыми числами.
- Чтобы сократить дробь до несократимой
, надо разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.
- Общий знаменатель двух дробей
— это общее кратное их знаменателей
- Чтобы привести две дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно
: 1) найти наименьшее общее кратное их знаменателей, то есть наименьший общий знаменатель; 2) найти дополнительный множитель для каждой дроби, разделив наименьший общий знаменатель на знаменатель данной дроби; 3) числитель и знаменатель каждой дроби умножить на соответствующий дополнительный множитель.
- Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо
: 1) привести их к общему знаменателю; 2) сложить или вычесть как дроби с одинаковыми знаменателями.
- При умножении дроби на целое число
числитель этой дроби умножается на это число, а знаменатель остается неизменным:
n
∙
a|b
=
n∙a|b
- При умножении двух дробей
получается дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель равен произведению знаменателей:
a|b
∙
c|d
=
a∙c|b∙d
- Чтобы найти дробь от числа
, нужно число умножить на эту дробь.
Как разделить дробь на дробь
Из прошлого урока про умножение дробей мы знаем, что
5|8
∙
7|9
=
5∙7|8∙9
=
35|72
Операция деления обратна операции умножения, и чтоб найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель, а значит:
35|72
:
5|8
=
7|9
7 мы можем получить, разделив 35 на 5, а 9 можем получить, разделив 72 на 8, то есть, 5 надо перенести из числителя в знаменатель, а 8 — из знаменателя в числитель, или просто поменяв дробь
5|8
на обратную ей дробь
8|5
, а деление поменяв на умножение:
35|72
∙
8|5
=
7|9
Отсюда делаем вывод, что
Правило!
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю:
a|b
:
c|d
=
a|b
∙
d|c
=
a∙d|b∙c
Делим дробь на дробь
Пример 1.
3|7
:
4|5
Решение:
=
3|7
∙
5|4
=
15|28
Пример 2.
27|50
:
3|5
Решение:
=
27|50
∙
5|3
=
9|10
Пример 3.
47|81
:
5|9
Решение:
=
47|81
∙
9|5
=
47∙9|9∙9∙5
=
47|45
=
1
2|45
Учимся делить натуральное число на дробь и дробь на натуральное число
Давайте попробуем разделить натуральное число на дробь, то есть умножим натуральное число на дробь, обратную делителю:
6
:
3|4
=
6
∙
4|3
=
6∙4|3
=
24|3
=
8
Получается,
3|4
8 раз укладывается в числе 6!
А теперь попробуем дробь разделить на натуральное число. Для этого мы можем представить натуральное число в виде дроби со знаменателем 1, а потом умножить на дробь, обратную получившейся:
5|8
:
25
=
5|8
:
25|1
=
5|8
∙
1|25
=
1|40
Получается, что если, к примеру,
5|8
метра разделили на 25 равных частей, то каждая такая часть будет составлять
1|40
метра.
Отсюда видно, что <b>чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно ее знаменатель умножить на это число.</b>
Делим натуральное число на дробь, дробь на натуральное число
Пример 4.
Разделим натуральное число на дробь
6
:
5|6
Решение:
=
6
∙
6|5
=
36|5
=
7
1|5
Пример 5.
Разделим дробь на натуральное число
7|10
:
3
Решение:
=
7|10
∙
1|3
=
7|30
Пример 6.
Разделим натуральное число на дробь
10
:
1|10
Решение:
=
10
∙
10|1
=
100
Пример 7.
Разделим дробь на натуральное число
12|97
:
4
Решение:
=
12|97
:
4|1
=
12|97
∙
1|4
=
3|97
Учимся делить со смешанными числами
Если делить смешанное число на дробное, натуральное или смешанное, можно это смешанное число представить в виде неправильной дроби и делить как дробь.
То же самое, если делить на смешанное число: можно представить его в виде неправильной дроби и делить на дробь, обратную этой неправильной дроби, например:
3
3|11
:
7|11
=
36|11
∙
11|7
=
36|7
=
5
1|7
12
:
1
3|5
=
12
:
8|5
=
12∙5|8
=
15|2
=
7
1|2
В числе 12
1
3|5
укладывается семь с половиной раз!
Делим смешанное число и на смешанное число
Пример 8.
Разделим дробь на смешанное число
4|5
:
3
8|10
Решение:
=
4|5
:
38|10
=
4|5
∙
10|38
=
4∙5∙2|5∙2∙19
=
4|19
Пример 9.
Разделим смешанное число на смешанное число
7
7|10
:
1
1|10
Решение:
=
77|10
:
11|10
=
77|10
∙
10|11
=
7
Пример 10.
Разделим смешанное число на натуральное
16
4|11
:
4
Решение:
=
180|11
:
4|1
=
180|11
∙
1|4
=
45|11
=
4
1|11
Продолжайте заниматься с тренажером
Тренажер
Выполните деление
Видеоурок «Деление дробей»
Нет времени читать урок? Хотите закрепить материал дополнительно? Ребенку больше нравится, когда тему объясняют вслух? Включите видео!
Показываем и подробно разбираем все случаи деления с дробями и смешанными числами. Решаем задачи и примеры, даем упражнения на закрепление.
Скачайте задачи по теме в PDF
Хочется меньше синих мониторов? Для дополнительной практики дома используйте наш сборник примеров и задач по дробям. Разборы заданий с ответами уже внутри.
Хотите порешать примеры на листочке? Мы подготовили их в формате PDF
Не забывайте: на сайте множество классных тренажеров, которые облегчат изучение математики, русского и английского.
Сообщество
инициативных родителей
Присоединяйтесь к нашему сообществу — тут мы пишем новости
и интересности в сфере образования, а также делимся идеями
и появлением новых разделов на сайте. А еще с упоением читаем
ваши комментарии. 🧡
Если вам нравится СлонУм, пожалуйста, поддержите нас — так вы ускорите разработку новых тренажеров и разделов 🚀
